卫星和飞船的跟踪测控优化模型
摘要
卫星和飞船的发射和运行过程进行全面跟踪测量的数据分析和处理，并针对题目的三个问题分别建立了符合实际的数学模型，在求解的过程中，应用高等物理知识，几何分析法，估算分析法以及统计学软件SAS等计算工具，对建立的模型进行求解，得出了我们的一些优化方案。
问题一：所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面时，我们假设卫星到地面之间最近距离为h, 地球半径为R，θ表示圆心角,当h大于1.2R时需要的测点数最少为3个;当h小于1.2R是需要的测点数就会增加。极限观测点间的夹角θ=2γ=2arcsin（sin93°*sqrt(1-R^2/(h+R)^2)
则地面所需的测控点数量为 N= 360°/θ+1 (N为整数且取大不取小)。
问题二：卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角为α，且在离地面高度为H的球面S上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，这样卫星和和飞船的运行轨迹将是覆盖一定面积的区域，覆盖率最优指标既是100%的覆盖范围，我们在建立模型时，考 虑到当相邻的圆互过圆心时能全程监测，于是有如下模型：
Rn=sqrt((R+H)^2-((n-1)L0)^2) (n<=R+H/L0+1且n为正整数)…(4)
（ Rn 表示所需截面的半径值）
Sn=2πrn/L0-1 (Sn为整数且取大不取小) ……(5) ( Sn表示每个纬线上测控点的个数; L0表示测控点在球面s上所测控的最大圆弧长)
弧长L0在S球面上对应的圆心角为β
1/4*2π（R+H）/90°=L0/β
L0=9.3H 代入解得
β=16°
若卫星的飞行轨迹能被全部测控,则需要以上的截面个数为m个, m为整数(取小不取大).
m =2α/16° (m取小不取大)…………(6)
总上所述,要符合题意需要的测控点的个数为S,
S=S1+2(S2+S3+…+Sm) (S1、S2、S3……Sn>=0)
（S1为赤道上测控点的个数）
问题三：收集我国一个卫星或飞船（如神七）的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。于是可建立一个有效测控率的模型：
首先分析实际中测控点的分布，比较实际中测控点的分布是否与模型中测控点的分布范围相一致。然后用模型对实例进行分析，通过模型得到测控点的测控覆盖率。
关键词：跟踪测控；覆盖率；测控验证
一、 问题重述
卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。
然而这种“理想状态”一般来说是不可能达到的，因为地面测控资源是有限的，测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务。
为此我们只有利用最少的测控站点尽可能多对卫星和飞船进行跟踪测控，以满足各种型号航天器的测控需求，为此我们设计了模型一：测控站优化分布模型。
由于考虑卫星和飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的成为我们进一步要深入解决的问题，为此我们设计了模型二：覆盖率优化模型。
当然了，我们建立模型的最终目的是想能够成功应用到现实当中去，用实际情况来检验，为此我们设计了模型三：测控覆盖率优化模型。
二、模型假设与符号说明
（一） 模型假设
（1） 测控设备的性能和质量都是合格的，并且能24小时连续工作。
（2） 测控设备的选址不考虑地形因素的影响。
（3） 气候因素不影响飞船及测控设备的正常工作。
（4） 测控人员都是合格的且24小时内不间断、轮流工作。
（5） 不考虑中继卫星的影响。
（6） 航天测量船的大型测控通信天线密集在甲板上，天线对目标跟踪的视角受到许多限制，电磁环境复杂，这些均忽略不计。
（7） 航天测量船在航行的条件下对飞船进行测控和通信，受到船舶在前进方向上的运动、升沉和船体摇摆的影响，这些均忽略不计。
（8） 测控船要长时间远航到预定海域执行任务，天气海况复杂，测控通信设备的工作环境恶劣，这些均忽略不计。
（二） 符号的说明
R 表示地球半径
H 表示卫星或飞船的运行轨迹到地面之间的距离
θ 表示极限观测点间的夹角
γ 表示极限观测点间的夹角的一半
α 表示卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面的夹角
Sn 表示每个纬线上测控点的个数
S 表示全程临测所需要的所有控点数
s 表示两站之间圆弧面近似直线距离的一半
h 表示卫星到地面之间最近距离。
R1 表示卫星到底心之间的距离
Rn 表示所需截面的半径值
L0 表示测控点在球面s上所测控的最大圆弧长L的一半
L 表示测控点在球面s上所测控的最大圆弧长
β 表示测控点弧L0在球心上对应的圆心角
m 表示截面个数
三、问题的分析
利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：
问题一：当所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面时，卫星和飞船飞行轨道与地面间有一定距离h，根据测控站只考虑与地平面夹角3度以上的空域，可算出最少需要站点数为三个。
问题二：如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角时，卫星或飞船的运行轨迹是缠绕球面S的一条线，当缠绕的圈数很多是就会在球面S上形成一个曲面，若为了尽可能多的观测卫星和飞船的运行状况，要想达到100%覆盖率，最简单而有效的方法是在平行于赤道线的两侧纬线圈上均匀分布着测控点且相邻的圆互过圆心，其测控的范围将覆盖整个卫星和飞船的运行轨迹。
问题三：通过收集我国一个卫星或飞船（如神七）的运行资料和发射时测控站点的分布信息，发现飞行轨道范围在北纬42度到南纬42度，这个范围都是飞船要经过的地方。所以，只有在此区间的每个纬线圈上均匀分布测控站,这样在这个地区里面这些测控站点对该卫星所能测控的范围才最大。
四、模型的建立与求解
4.1 测控站优化分布模型
根据题意分析，若卫星被全程测控最少需要测点3个。
当测空点为3个时，卫星到地面的最近距离为h
易得
∠C=180°-93°-60°
=27°
∠B=93°
由正弦定理得
R/sin∠C=(R+h)/sin∠B
解得 h=1.2R
即，当h大于1.2R时需要的测点数最少为3个
当h小于1.2R是需要的测点数就会增加。
γ=θ/2
x/sinγ=（h+R）/sin93° …… (1)
当h<<R时，x近似取值
由勾股定理得
X=sqrt((h+R)^2-R^2) 代入（1）解得
γ=arcsin（sin93°*sqrt(1-R^2/(h+R)^2)...................................(2)
此时，所需的测控点为 N= 360°/θ+1 (N为整数且取大不取小).........................(3)
根据神七的一些飞行数据及已知数据，可知h=350km; R=6400km;
带入(2),(3)解得
N=11
4.2 覆盖率优化模型
弧长 L=θ*r
易知 θ=174/180(rad)
r=H/sin3°
解得
L=18.6H
L0 =L/2=9.3H
由图可知 R1=R+H
则在赤道上测控点的个数为
S1=2π(R+H)/L0-1
靠近赤道的纬线a所在的面与球面S所形成的截面半径为
R2=sqrt((R+H)^2-L0^2)
在此纬线上测控点的个数为
S2=2πR2/L0-1
纬线b所在的面与球面S所形成的截面半径为
R3=sqrt((R+H)^2-(2L0)^2)
在此b纬线上测控点的个数为
S3=2πR3/L0-1
依次类推,得
Rn=sqrt((R+H)^2-((n-1)L0)^2) (n<=R+H/L0+1且n为正整数)…(4)
Sn=2πRn/L0-1 (Sn为整数且取大不取小) ……(5)
弧长L0在S球面上对应的圆心角为β
1/4*2π（R+H）/90°=L0/β
L0=9.3H 代入解得
β=16°
若卫星的飞行轨迹能被全部测控,则需要以上的截面个数为m个, m为整数(取小不取大).
m =2α/16° (m取小不取大)…………(6)
总上所述,要符合题意需要的测控点的个数为S,
S=S1+2(S2+S3+…+Sm)
此时的覆盖率最理想将达到100%。
测控点的模型图1-5
如图1-6所示
图1-6
4.3 验证模型
根据我国自行研制的神州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布图，以及卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。
神州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布图
神舟七号测控站分布情况表1-1
神舟七号测控站分布坐标图 1-8
根据神七的一些数据资料,神七运行时与赤道平面的夹角为42°,飞行的最底高度为200 km
代入(6)式得
m=5
即在一个半球上需要的纬线2条，则满足题意共需五个截面
由于建模时,赤道上已有一截面且赤道上有测控点分布,所以为满足题意,在赤道两边必须各有一条合理布局的纬线。
将所查数据代入(4)(5)得
S=S1+2 (S2+S3)
=22+2*(21+18)
=100
根据所查资料16个测控点都在模型的计算范围内
由该模型可得神七发射运行过程中16个站的测控覆盖率为
16/100=16%
此数据与实际数据有点误差。我们分析，在对卫星测控的实际问题中，在选择测控点时，因为需要考虑发射回收问题，地理问题，环境问题及测控效率（飞船被测控点测控的次数和时间的长短）等问题，所以测控点的位置与理想化的模型是有区别的，再加上模型本身的不完善等原因导致了误差的出现。
五、设计方案的合理性论述
文中基础假设合理，理论采用已有的数学理论，所建模型理论可靠，模型结构简单。
我们在建立模型一时，运用了由特殊到一般的，由简单到复杂的思想。在建立一般的模型时，根据实际情况设定了一个合理的限制条件，即h<<R.通过这个条件能估算出θ，由公式N= 360°/θ+1算出测控点数。整个过程理论正确合理。
在建立模型二时，我们仔细分析题意（考虑卫星和飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异），得出这样一个结论：飞船的运行轨迹是缠绕球面S的一条线，当缠绕的圈数很多是就会形成一个在球面S上的曲面。通过对模型1的推广我们得到了模型二：S=S1+2(S2+S3+…+Sm) (S1、S2、S3……Sn>=0)
在对模型二进行列式时我们考虑了L0与测控点的关系等细节问题，经过验证，模型二也是符合实际而且容易操作的。但是，还是可以有一些改进的方面。
在建立模型三时，通过收集我国神七的运行资料和发射时测控站点的分布信息，可以利用模型二求出对于神七测控系统在整个轨迹覆盖面积的覆盖率来。
六、 模型的改进方向
仅仅从用最少的测控点来实现对卫星或飞船的运行进行全程跟踪测控这个角度来建立模型求解，往往会忽略一些本该考虑进去的影响因素，比如本模型就忽略了地形因素，测控设备的工作环境，测控站能否均匀分布，理想状况下测控点之间的测量区域重合的部分太多等因素的影响。从而会导致结果误差的存在，
因此在改进模型时，有必要考虑多方面的影响因素。
如果读者有意改进方案的话，可以考虑此方案，如下图所示：
由于此方案测控站点之间的重合度不大，因此，这样的模型得出的结果将会更加符合实际测量结果。
如果考虑中继卫星作用的话，测控覆盖率将会大大提高，极大提高各类卫星使用效益和应急能力。
七、模型的推广
本模型不仅仅实用于对航天飞行器的测控系统，也实用于其它一些覆盖测控问题，比如气象观测站的选址，喷灌覆盖面的问题，智能吸尘器全覆盖路径算法研究和测控系统的设计，遥测遥感网的覆盖问题问题等。
参考文献
[1] 吴云鹤，测控弧段优先级的确定及量化，飞行器测控学报，2001年12月，第20卷，第4期.
[2] 贾世楼.空间飞行器跟踪与测量.北京:宇航出版社,1998
[3] 陈芳允.卫星测控手册.北京:科学出版社,1993
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